Bycie sobą

Odbity w poziomie i pionie wykres Dopplera z wartością na skali logarytmicznej idealnie pokrywa się sam ze sobą, co znaczy, że w tej postaci ma logarytmiczną symetrię środkową względem punktu (0,1). Przedział wartości od 1 do 0 rozszerza się logarytmicznie i wizualnie od 1 do minus nieskończoności tak samo jak zagęszcza się przedział od 1 do plus nieskończoności. Ten sam efekt występuje dla każdej skali logarytmicznej o każdej podstawie logarytmu i oznacza, że

ln(f(v)) = -ln(f(-v))
https://www.desmos.com/calculator/q4cwhaxxxg



Minus przed x=v to pionowe odbicie wzgledem osi y, minus przed całością to poziome odbicie wzgledem osi x. Oba te odbicia dają symetrię środkową wzgledem punktu (0,0).

Teraz pozbywam się logarytmów.

e^ln(f(v)) = e^-ln(f(-v))
e^ln(f(v)) = 1/e^ln(f(-v))
f(v) = 1/f(-v)

Własność f(v)=1/f(-v) albo f(v)f(-v)=1 oznacza, że dopplerowskie skrócenie i dylatacja czasu są do siebie odwrotnie proporcjonalne tak samo jak skrócenie i wydłużenie dla przeciwnie skierowanej prędkości. Z tej właśnie własności wynika logarytmiczna symetria środkowa. Klasyczny Doppler bez pierwiastka też ją posiada przy założeniu równych i przeciwnie skierowanych prędkości źródła i odbiornika.