Gdyby ludzie mieli 6 zamiast 5 palców dłoni, czyli matematyka, która cię wciągnie

W wersji zmodyfikowanej już można podzielić ludzi na tych, którzy rozumieją system binarny i tych, którzy mają przyjaciół.

Zapewne ci, dla których system binarny nie kryje w sobie żadnych tajemnic zrozumieją także podstawy posługiwania się innymi systemami pozycyjnymi: ósemkowym, szesnastkowym czy dwunastkowym.

I właśnie ten ostatni system chciałbym zareklamować niniejszym artykułem.

Zapewne pomyśli ktoś, że trzeba być totalnym świrem, żeby zastanawiać się nad jakimiś systemami. I będzie miał sporo racji. Niemniej jednak kilka poniższych faktów powinno dać mu nieco do myślenia.

Zastanawiałem się, czy do systemu o podstawie 12 podchodzić całkiem poważnie, czy może pozwolić sobie na kilka mało istotnych skojarzeń i postanowiłem zacząć z grubej rury. :D

Dwunastnica!!! Co wy na to? :D

OK - to był żart ;p (choć warto zauważyć, że dziesiętnicy człowiek nie posiada).

Jedynymi organami w ciele człowieka kojarzącymi się z liczbą dziesięć są palce. Śmiem twierdzić, że to właśnie dzięki nim ludzie przyjęli system dziesiętny jako podstawowy i naturalny. W końcu które dziecko nie zaczynało liczyć na paluszkach?

Tymczasem wiele spośród starożytnych cywilizacji używało systemów o podstawie różnej od dziesięciu. Przykładowo Majowie używali systemu dwudziestkowego, Egipcjanie - siódemkowego (prawdopodobnie to dzięki nim Żydzi przejęli opis stworzenia świata w 7 dni, a my mamy siedmiodniowy tydzień), podczas gdy Sumerowie stosowali system dwunastkowy ang. dozenal system (od dozen - tuzin).

Sumerowie to w ogóle byli światli ludzie, bo to właśnie im zawdzięczamy takie zdobycze cywilizacji jak: pierwsze pojazdy kołowe, koło garncarskie, stop miedzi z cyną zwany brązem, pismo oraz liczbę zero.

Dlaczego zatem Sumerowie liczyli do dwunastu, a nie do dziesięciu? Czyżby byli aż tak oświeconym narodem, że nikt nie liczył na palcach?

Otóż nie. Sumerowie również pomagali sobie i to dość często palcami w liczeniu. Z tym że do liczenia używali nie całych palców, lecz każdego z trzech stawów w palcach. Oto jak to robili:



Jak widać na ilustracji jakoś można policzyć do dwunastu na palcach :) Co więcej, mając dwie ręce można policzyć do dwudziestu czterech przesuwając kciukami po odpowiednich segmentach palców.

Jednak żeby móc liczyć potrzebne są cyfry. Sumerowie znali 12 cyfr, więc nie mieli problemu z zapisywaniem liczb w postaci wielokrotności tuzinów. Niestety, u nas przyjęły się cyfry arabskie, które kończą się na dziesięciu znakach. Stąd w celu stosowania systemu dwunastkowego zaistniała potrzeba nazwania dwóch brakujących cyfr.

Te cyfry to : DEK = dziesięć oraz EL = jedenaście.


Jak zatem nazwać liczbę 10 zapisaną w systemie dwunastkowym? To oczywiście tuzin, lub w skrócie DO.

Zanim przejdziemy bardziej szczegółowo do zapisu liczb w systemie dwunastkowym, pora na kilka luźnych spostrzeżeń z życia wziętych.
Doba = 24 godziny
Rok = 12 miesięcy
To oczywiście pozostałości systemu dwunastkowego w sposobie odliczania czasu.
Również w mowie — szczególnie w językach o korzeniach germańskich - widać, że podstawowe liczebniki kończą się na dwunastu. Przykładowo w jęz. angielskim mamy liczebniki: nine, ten, eleven, twelve, a dopiero od trzynastu w górę obowiązuje końcówka "- teen" (thirteen, fourteen...)
Podobnie jest w jęz. niemieckim.

Ponadto w krajach anglosaskich do dziś używa się dwunastkowego systemu miar, ot choćby miary długości. Weźmy stopę angielską, która dzieli się na 12 cali, cal na 12 linii, linia na 12 punktów.

Do niedawna w Anglii płaciło się szylingami wartymi 12 pensów.

W Polsce również przetrwały takie pojęcia jak tuzin = 12 sztuk, gros = 12 tuzinów, kopa = 5 tuzinów. W średniowieczu istniała w Polsce jednostka płatnicza zwana grzywną, od której pochodzi słowo "grosz" — dziś 1/00 złotego dawniej 1/144 grzywny.

No dobrze, wiemy co nieco o tradycjach związanych z systemem dwunastkowym. Dlaczego jednak mielibyśmy rezygnować z, jakże dla nas oczywistego, systemu dziesiętnego?

Poniżej przedstawię kilka faktów świadczących o wyższości 12 nad 10.

Zacznijmy od naturalnych podzielników. Każdy z nas przynajmniej raz znalazł się w sytuacji, w której wypadało podzielić z drugą osobą po równo jakimiś rzeczami. Dla przykładu niech to będą puszki z piwem.

Jeśli kupimy dziesięć browarów to bez problemu podzielimy się z towarzyszem i każdy dostanie po 5 piw. Dwanaście puszek również podzielimy miedzy 2 amatorów chłodnej piany.

Ale co w przypadku, gdy jest nas trzech? Mamy te dziesięć puszek i dajemy każdemu po 3 a ostatnią chowamy pod kurtką na później?

Tymczasem w przypadku zakupionego tuzina piw takiego problemu nie będzie. Co więcej, nie będzie również problemu z podziałem tuzina pomiędzy 4 uczestników popołudniowego grilla ;)
Wymieńmy zatem wszystkie podzielniki liczby dziesięć. To: 1, 2, 5 i oczywiście 10.
Po odrzuceniu oczywistego dzielenia przez 1 i przez samą siebie (gdyż każda liczba dzieli się przez 1 i przez siebie) zostaje 2 i 5. Skromnie.
W przypadku liczby dwanaście mamy cztery podzielniki 2,3,4,6.
Oczywiście może ktoś zarzucić nam, że nie ma wśród nich 5. Jednak zastanówmy się, jak często w życiu codziennym musimy dzielić cokolwiek na 5 części, a jak często na 3 lub 4 części.

Z podzielnikami wiąże się kolejna ważna cecha, czyli zapis ułamków.
1/2 dziesiętnie to 0,5.
1/2 dwunastkowo to 0,6.
1/3 dziesiętnie to 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333.
podczas gdy dwunastkowo to 0,4.
1/4 dziesiętnie = 0,25 zaś dwunastkowo to 0,3.
Od razu widać, że w systemie dwunastkowym dużo rzadziej występują niewygodne ułamki okresowe.
Innym aspektem wyższości 12 nad 10 są właściwości geometryczne figur płaskich. Próbowaliście kiedykolwiek wypełnić powierzchnię pięciokątami foremnymi? Oczywiście jest to niemożliwe. Natomiast płytki w kształcie sześciokątów nie dość, że bardzo ładnie wyglądają na podłodze w łazience, to jeszcze bardzo dokładnie wypełniają powierzchnię podłogi. Podobnie jak płytki czworokątne i trójkątne.
Poza tym skonstruować za pomocą cyrkla i linijki pięciokąt foremny nie jest prosto, podczas gdy sześciokąt można uzyskać odkładając cyrklem promień koła na jego obwodzie. Banalnie prosta konstrukcja.

Za dwunastką przemawiają też inne fakty. Czy ktokolwiek z was kupował kiedykolwiek piwo w pięciopakach? Za to czteropaki i sześciopaki nikogo nie dziwią. W dodatku aby zapakować pięciopak potrzeba więcej folii niż do zapakowania 6 napojów.
Kolejną ciekawostką jest to, że przez bardzo długi czas proporcje ekranów telewizyjnych, klisz filmowych oraz monitorów komputerowych wynosiły 4:3. Nigdy np. 5:2.

No dobrze. Załóżmy, że z dwunastką i jej podzielnikami rzeczywiście mamy częściej do czynienia w życiu codziennym niż z dziesiątką. Jednak jakie korzyści mielibyśmy odnieść ze zmiany sposobu zapisu liczb i liczenia kolejnych potęg dwunastki?

Po pierwsze tabliczka mnożenia.

Powie ktoś, że z początku łatwiej jest wykuć na pamięć 100 liczb niż 144.
Ale czy na pewno?
Aby przedstawić zapis niektórych liczb dwunastkowo będę potrzebował cyfr, których nie mam na klawiaturze. Dlatego na potrzeby tego artykułu cyfrę dziesięć, czyli dec (czyt. dek), zastąpię literą A, zaś cyfrę jedenaście, czyli el, zastąpię literą B.

Tak więc w systemie dziesiętnym mamy cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

zaś w dwunastkowym mamy cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.

Spróbujmy teraz w systemie dziesiętnym pomnożyć kolejne cyfry przez 5.
Otrzymamy bardzo prosty ciąg
w którym na ostatnim miejscu występują tylko cyfry 0 i 5. To bardzo ułatwia naukę tabliczki mnożenia przez 5.
Warto zauważyć, że 5 jest jedyną cyfrą w systemie dziesiętnym, która pojawia się tak regularnie.
Gdy spróbujemy mnożyć przez 4, będzie nieco gorzej:
W tym przypadku cyfry powtarzają się po 2 i pół dziesiątkach.
Jeśli mnożymy przez 3 zupełnie nie zauważymy jakiejkolwiek regularności w zapisie

aż do momentu pomnożenia 10 przez 3. Na ostatnich pozycjach są wszystkie cyfry.

A teraz podobne przykłady zapisane dwunastkowo:
Najpierw mnożenie przez 6.

przy czym 10 to jeden tuzin a 50 to pięć tuzinów.
Mnożąc przez 4, ciąg również będzie powtarzalny:
przy czym 28 to czwórka pomnożona osiem razy równa 2 tuziny i 8 jedności
Mnożąc przez 3 otrzymamy następujący ciąg:
Łatwo zauważyć prawidłowość podobną do mnożenia przez 5 w systemie dziesiętnym.
Dlatego nauka tabliczki mnożenia do 144, czyli do "grosa" jest o wiele prostsza, niż mogłoby się wydawać.


Wprawne oko od razu wyszuka odpowiednie kolumny i wiersze, których zapamiętanie jest proste jak 2x2.
Dodatkową korzyścią jest oczywiście możliwość policzenia większych iloczynów w pamięci.

Wreszcie korzyść związana z oszczędnością miejsca.

Wyobraźmy sobie potrzebę zapisania w jakiejś bazie danych wieku pacjentów leczonych w klinice. Stosując system dziesiętny niewątpliwie mocno ryzykownym posunięciem byłoby zarezerwowanie 2 pozycji (dwóch bajtów) na panelu wyświetlającym podstawowe dane o pacjencie, bo przecież może się pechowo trafić pacjent, który dożył stu kilku lat. I co wtedy?
Wpisać mu 07 zamiast 107?

W systemie dwunastkowym dwie pozycje z całą pewnością wystarczą, bo raczej rzadko się zdarza, aby do szpitala trafił ktoś w wieku powyżej 143 lat. Zatem wiek 107-latka byłby zapisany jako 8B lat.

A teraz krótka refleksja. Jeśli dobrnęliście do tego miejsca artykułu to znaczy, że jesteście co najmniej dziwni.

Ale nie bardziej niż ja ;)

Zatem która z bojowniczek kończąca w tym roku 35 lat nie wolałaby mieć wciąż dwójki z przodu?

Na zakończenie kilka całkowicie luźnych skojarzeń z liczbą 12:

Jezus wybrał 12 apostołów

Tolkien wymyślając Elfy uznał, że będą one się posługiwać 12 cyframi widocznymi na obrazku poniżej:

Pszczoły przechowują miód w plastrach złożonych z sześciokątnych komórek — przypadek?
Dwanaście progów gitary to pełna gama dźwięków. Od dwunastego progu zaczyna się wyższa oktawa.

Kostka do gry. Widział ktoś pięciościenną?

12 miesięcy i 12 znaków zodiaku.

12 godzin w dzień i 12 godzin w nocy to podział doby w dniu równonocy wiosennej i jesiennej.

Każde ciało sztywne posiada sześć stopni swobody.

Skrzynka wódki lub szampana ma 12 komórek (3x4). Skrzynek z dziesięcioma butelkami jeszcze nie widziałem.

Zapewne podobnych skojarzeń jest o wiele więcej, ale teraz nie przychodzą mi do głowy wszystkie, które gdzieś tam mi się przewinęły przez życie.

Tak czy owak, jeśli ktoś jest już przekonany o wyższości 12 nad 10 proponuję się z tym nie kryć.

Być może doczekamy kiedyś prawdziwej światowej rewolucji numerycznej.