4 banalnie proste rzeczy nieludzko skomplikowane przez matematykę

#1. Liczenie

Czyli generalnie to, czym zajmuje się matematyka poza rujnowaniem życia uczniom. Istnieją jednak przynajmniej dwa stopnie wtajemniczenia w matematykę, mianowicie matematyka spożywcza, pozwalająca wybrać mamie Grześka (przy okazji pozdrawiam mamę Kraqqqusa) taką ilość pomidorów do obiadu, która wystarczy dla mamy Grześka, taty Grześka, siostry Grześka i Grześka, i matematyka dla ludzi, którzy w życiu nie mieli styczności z pomidorami i żywią się energią z kosmosu. Zwolennikom pierwszego stopnia matematycznego zaawansowania do życia zupełnie wystarcza wiedza wyniesiona z podstawówki, natomiast ci drudzy nie dość, że rozumieją wszystko co wydarzyło się na matematyce po podstawówce, to jeszcze obcują z matematyką długo po zakończeniu podstawówki. Z własnej woli. Czasem nawet dla przyjemności.


Produkty tego obcowania bywają różne. Często są namacalne i możemy kupić je na Allegro lub przespacerować się po nich, jednak wielu matematyków uprawia matematykę dla samej perwersyjnej możliwości uprawiania matematyki. Otrzymują oni wynagrodzenie za to, by całymi dniami poszerzać i tak rozległe terytorium królowej nauk. Mając do dyspozycji cały swój czas, tworzą oni nowe matematyczne wyzwania, którym czoła próbują stawić inni matematycy, przy okazji dorzucając coś od siebie i nakręcając tę spiralę szaleństwa, w której liczby stanowią zaledwie ułamek olbrzymiej całości.


W matematyce istnieje cały szereg zagadnień pieszczotliwie nazwanych problemami, które najpierw matematycy tworzą, a później próbują je rozwiązać. W 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu niemiecki matematyk David Hilbert przedstawił listę 23 problemów, które według Gilberta miały mieć olbrzymie znaczenie dla matematyki w XX wieku. Wiele tych problemów zostało już rozwiązanych, część została uznana za zbyt ogólną, ale niektóre, po ponad stu latach od ogłoszenia, pozostają wciąż aktualne.


Trzeba przyznać, że matematycy to łebscy ludzie również w kontekście prowadzenia biznesu. Stworzyli sobie model, w którym sami zapewniają sobie pracę i jeszcze otrzymują za nią wynagrodzenie, które potrafi osiągać 6-cyfrowe sumy. Milionowe kwoty wypłacane są na przykład za rozwiązanie tzw. problemów milenijnych, ogłoszonych równe 100 lat po Gilbercie kolejnych ważnych dla matematyki problemów.


W 2006 roku rosyjski matematyk Grigorij Perelman, uznawany przez wielu za największy matematyczny umysł naszych czasów, otrzymał milion dolarów za udowodnienie hipotezy Poincarégo. Uznanie problemu za rozwiązany wymaga przedstawienia dowodu, który zostanie poddany weryfikacji. Pod koniec maja 2016 roku przedstawiono dowód na rozwiązanie problemu boolowskich trójek pitagorejskich . Problem problemu polega na tym, że jego dowód waży aż 200 terabajtów. Jest to największy dowód w dotychczasowej historii matematyki, ale na razie nikt nie kwapi się do tego, by się z nim zapoznać, co jest szczególnie dziwne, ponieważ nagroda za rozwiązanie problemu boolowskich trójek pitagorejskich wynosi aż 100 dolarów.

Ale matematyka to nie tylko rozdmuchiwanie wielkich problemów do niebotycznych rozmiarów. Matematyka to także rozdmuchiwanie nieistniejących problemów do niebotycznych rozmiarów.

Uważacie, że jeden plus jeden po prostu równa się dwa?


Principia Mathematica to powstałe w latach 1910–1913 opasłe tomisko matematyczne autorstwa Bertranda Russella i Alfreda Northa Whiteheada , które zawiera między innymi 378-stronicowe wyjaśnienie tego, że jeden plus jeden równa się dwa, dlatego jeśli następnym razem zechcesz komuś udowodnić, że coś jest proste jak dwa razy dwa, to się najpierw upewnij, czy masz odpowiednie kompetencje.

#2. Logika

Logika to jest takie coś, co według Grześka i jego mamy jest logiczne na chłopski rozum. Pomidory są czerwone, bo dojrzały – po co drążyć, skoro dobrze smakują ze śmietaną. I tego będziemy się póki co trzymać, ponieważ z akademickiego punktu widzenia definicja logiki jest dużo szersza i w dodatku zahacza o filozofię, więc tym bardziej zostaniemy przy logicznych pomidorach.


I tutaj do akcji wkracza matematyka, która burzy Grześkowi i jego mamie ich prosty światopogląd, nawet jeśli Grzesiek i jego mama nie zastanawiali się nigdy nad rzeczami, o których zaraz będzie mowa.

Zacznijmy od tzw. paradoksu przyjaźni . Twoi znajomi mają więcej znajomych niż ty, a ich znajomi mają więcej znajomych niż oni. Z kolei ich znajomi mają więcej znajomych niż znajomi znajomych, a więc jeśli jesteś wśród znajomych ostatniej grupy znajomych, to w dalszym ciągu jesteś najmniej lubianą osobą, ale odnosisz swoje małe moralne zwycięstwo, bo znajdujesz się wśród znajomych, którzy mają jeszcze więcej znajomych niż twoi znajomi.


Paradoks przyjaźni został po raz pierwszy opisany w 1991 roku przez socjologa Scotta Felda i potwierdzony dwie dekady później, kiedy za pomocą komputerów można było przeanalizować sieć znajomości ludzi z Facebooka i Twittera. Prawdopodobieństwo tego, że znajomi jakiegokolwiek człowieka mają więcej znajomych niż on sam, wynosi aż 98%.

Jeśli chodzi o prawdopodobieństwo, to nie ma bardziej losowych zdarzeń niż zdarzenia losowe, prawda? Bez obaw więc możemy po pijaku postawić samochód w grze, w której zwycięzcę określa się na podstawie rzutu monetą.

Takiego wała.


O ile średni stosunek wyrzuconych „orłów” do „reszek” będzie zazwyczaj wynosił 50:50 (im więcej rzutów, tym bardziej zbliżony rezultat), tak w przypadku gry dwójki zawodników, w której do zwycięstwa w rundzie potrzeba trzech – określonych uprzednio przez każdego zawodnika – rzutów z rzędu, zawodnik z numerem 2 ma zawsze większe szanse na zwycięstwo. Co więcej, istnieją dwa gamehacki, które pozwalają mu jeszcze podnieść swoje szanse.


Jeśli pierwszy gracz wybierze sekwencję OOO (orzeł-orzeł-orzeł), to drugi gracz powinien wybrać w pierwszym rzucie przeciwieństwo drugiego rzutu swojego przeciwnika, czyli reszkę. Dwa pozostałe rzuty drugiego gracza powinny być takie same jak dwa pierwsze rzuty pierwszego gracza, czyli orzeł i orzeł. Sekwencja drugiego gracza, o ile chce wygrać pojedynek, powinna wyglądać następująco: ROO. W matematyce nazywa się to grą nieprzejściową [non-transitive game], a autor z góry przeprasza, jeśli ją źle przetłumaczył.


Nieintuicyjne szanse i paradoksy łączą się w paradoksie Monty’ego Halla lub jak kto woli – paradoksie Zygmunta Chajzera. (Tym razem dobrze przetłumaczony, ale zupełnie niewymagający tłumaczenia) Paradoks wziął swoją nazwę od imienia i nazwiska prowadzącego amerykańską wersję teleturnieju „Idź na całość!” ( Let’s make a deal), która polegała na dokonywaniu wyborów, a cały fun tkwił w tym, że można było wybrać źle.


Strach przed podjęciem błędnej decyzji sprawiał, że uczestnicy programu trzymali się podjętego wyboru w obawie przez tym, że zmiana skończy się dla nich źle lub co najwyżej gorzej niż na początku. Tymczasem okazuje się, że szanse wygrania nagrody po zmianie decyzji są dwukrotnie większe niż gdyby uczestnik programu trwał w swoim postanowieniu. Sęk tkwi w psychologii, na której w głównej mierze opierał się mechanizm popularności teleturnieju. Prowadzący odkrywał przed zawodnikami jedną z dwóch bramek, których nie wybrali. W fachowej (matematycznej) terminologii powiedziano by, że odkrywając pustą bramkę prowadzący zmniejszał zbiór pustych bramek. Jeśli początkowo do wyboru były trzy bramki, a wyeliminowana została jedna z dwóch pustych bramek, to prawdopodobieństwo przypisane tej pustej pustej bramce przechodzi do puli prawdopodobieństwa wygranej, które od tej pory wzrasta z 1/3 do 2/3. A zatem z matematycznego punktu widzenia zawodnikowi bardziej opłacało się zmienić bramkę, niż zostać przy wybranej na początku.

#3. Życie matematyków w filmach

Hollywood jest jak ludzie na portalach randkowych – lubi zmyślać i koloryzować. Musi tak robić, bo w przeciwnym razie nikt nie chciałby przyjść na randkę z Hollywood, co oznaczałoby smutek i samotność, nie wspominając już o zakręceniu kurka z pieniędzmi. Dlatego w Hollywood tak rzadko możemy oglądać zwykłe, codzienne życie innych ludzi.

W Hollywood utarło się, że geniusz to ekscentryk mający często problemy z nawiązaniem relacji z innymi ludźmi. W filmie Buntownik z wyboru grany przez Matta Damona Will Hunting to matematyczny geniusz, który wzorem Kopciuszka przedostaje się do świata innych bystrych umysłów jednej z najlepszych amerykańskich ­– a pewnie i światowych – politechnik, MIT, ale szybko zdaje sobie sprawę z tego, że intelektem przerasta każdego, kto się w tym świecie znajduje, co prowadzi do różnych niekoniecznie akceptowalnych społecznie sytuacji.


Bardziej od aspołecznych geniuszy Hollywood uwielbia aspołecznych geniuszy z chorobą psychiczną. Bodaj najgłośniejszy przykład takiego geniusza to grany przez Russella Crowe’a John Nash w filmie Piękny umysł. Choć Nash faktycznie zmagał się ze schizofrenią, to prawdziwe losy twórcy teorii gier posłużyły jedynie za podstawę do nakręcenia filmu, co nie jest może tak dziwne, bo chyba żadna adaptacja biografii w Hollywood nie została wiernie odwzorowana.

Żaden problem, weźmy zupełnie fikcyjny Dowód.

Film z 2005 roku, w którym główne role odgrywają Gwyneth Paltrow, Jake Gyllenhaal i Anthony Hopkins. Dwoje na troje z wymienionych bohaterów to geniusze matematyczni – ojciec i córka, która uważa, że po ojcu przejęła nie tylko talent, ale i jego schizofrenię. A Pi? Główny bohater filmu wpada w paranoję sądząc, że tajne służby chcą go dopaść w związku z pracami, które prowadzi nad liczbą Pi.

W tym momencie możemy pokusić się o stwierdzenie, że według Hollywood geniusze zawdzięczają swój geniusz właśnie zaburzeniom psychicznym.


Klasycznym tego przykładem jest film Rain Man. Wcielający się w jednego z braci Dustin Hoffman jest autystycznym geniuszem, który przy wielu okazjach ujawnia swój matematyczny talent: recytuje z pamięci bejsbolowe statystyki, zapamiętuje menu w restauracji, w mgnieniu oka jest w stanie policzyć rozsypane wykałaczki, a w pamięci mnoży tak, że zawstydziłby księgowych Amber Gold.


Izabella Laba, profesor matematyki z University of British Columbia, na swoim blogu porównuje „doping” w postaci choroby psychicznej u matematyków do kontuzji u sportowców i argumentuje, że szaleństwem byłoby twierdzenie, że kontuzje pomagają sportowcom w odnoszeniu lepszych wyników. Jednocześnie przytacza wyniki badań szwedzkich naukowców z 2010 roku, które wskazują, że poziom dopaminy u kreatywnych ludzi i schizofreników jest podobny i wyższy niż u reszty ludzi.

I choć rzadko matematyka czyni z człowieka prawdziwego świra, to z pewnością wielu matematyków nie potrafi przestać myśleć o matematyce. Widać tu pewną analogię z autorami internetowych artykułów satyrycznych.

#4. Codzienne czynności

Problem z matematyką często polega na tym, że usiłując wyjaśnić pewne rzeczy, komplikuje je jeszcze bardziej. To znaczy trzeba tu odróżnić rzeczy, które są po prostu wyjaśniane dla samego wyjaśnienia, od rzeczy, które są wyjaśnianie, ale ktoś próbuje stosować te wyjaśnienia na co dzień. A wierzcie – determinacja matematyków do całkowitego zmatematyzowania codzienności jest porównywalna z determinacją Radosława Majdana do ratowania swoich włosów.


Matematycy już nieraz próbowali udowadniać, że są potrzebni światu. Okej, my, matematyczne Grześki, już dawno to zrozumieliśmy i chyba daliśmy to wam do zrozumienia, rezygnując z zaciągania wam gaci na głowę. Już naprawdę nie musicie prężyć zwojów mózgowych, wyjaśniając dlaczego tosty zawsze lądują na podłodze stroną posmarowaną masłem albo dlaczego kawa wylewa się z filiżanki, gdy się ją niesie.

Mimo to matematycy nie rezygnują. Zacznijmy od czegoś prostego – na przykład recepty na szczęście. Nie istnieje uniwersalna, więc każdy człowiek sam musi próbować różnych rzeczy, żeby poznać te, które go uszczęśliwiają.


W 2014 roku opublikowano wyniki badań przeprowadzonych na University College London, w ramach których 26 ochotników podłączono do rezonansu magnetycznego i kazano grać w gry hazardowe. Podczas gry uczestnicy mieli za zadanie oceniać poziom odczuwanego szczęścia. Na tej podstawie oraz na podstawie odczytów z rezonansu naukowcom udało się stworzyć ten oto prosty wzór na szczęście, który wystarczy skopiować i wdrożyć w życie.


Szczęście ma w sumie wiele postaci. Pizza to jego najwyższa forma. Naukowcy stworzyli już matematyczną formułę na pizzę idealną, podawali sposoby idealnego trzymania pizzy, a nawet doradzali jak podrzucać ciastem, żeby wyszło idealnie. Na początku 2016 roku świat obiegła wiadomość, że dwójka matematyków z University of Liverpool opracowała nowy sposób krojenia pizzy, a w zasadzie to ulepszyła istniejący już sposób zwany kafelkowaniem jednorodnym.


Kafelkowanie jednorodne polega na krojeniu pizzy w taki sposób, by wydzielić 6 kawałków mniej więcej tej samej wielkości w środku – dla tych, którzy lubią miękkie ciasto – i 6 kawałków na brzegach – dla miłośników chrupkich rantów. I to by było w zasadzie całkiem niezłe i praktyczne rozwiązanie, ale gdyby interesowały nas całkiem niezłe i praktyczne rozwiązania, to siedzielibyśmy teraz w Ikei. Matematycy z Liverpoolu, Joel Haddley i Stephen Worsley, chcieli przekonać się, co się stanie, gdy używając tej samej metody krojenia pizzy zaczną dzielić ją na jeszcze mniejsze kawałki. W efekcie udało im się uzyskać zajebiście dużo zimnych pizzowych ciastek i jak sami przyznali nie bardzo wiedzą, do czego mogłoby im się to przydać, ale są pewni, że na pewno się przyda.


Jeśli recepta na szczęście lub krojenie pizzy na nieograniczoną liczbę kawałków wydawały ci się skomplikowane, to spróbuj nauczyć dziecko jazdy rowerem na podstawie matematycznej formuły opracowanej przez naukowców z University of Nottingham, Cornell University w Ithaca i Delft University of Technology w Holandii.


Ten zaledwie 62-stronicowy dokument, w którym pojawiają się takie terminy jak siła bezwładności, siła żyroskopowa, działanie grawitacji, siła odśrodkowa, wychylenie ciała oraz moment obrotowy wyczerpująco objaśnia mechanizm jazdy na rowerze i stanowi niepodważalny dowód niepoczytalności dla każdego dziecka, które zostałoby zmuszone do nauki jazdy na rowerze za pomocą tej instrukcji.


Źródła:
1: a, b, c, d, e
2: a, b, c
3: a, b, c, d
4: a, b, c